الجبر الخطي الأمثلة

$A = [\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}]$

خطوة 1

عيّن الصيغة لإيجاد المعادلة المميزة $p (λ)$ .

$p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$

خطوة 2

المصفوفة المتطابقة أو مصفوفة الوحدة ذات الحجم $2$ هي المصفوفة المربعة $2 \times 2$ التي تكون فيها جميع العناصر الواقعة على القطر الرئيسي مساوية لواحد بينما تكون جميع عناصرها في أي مكان آخر مساوية لصفر.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

خطوة 3

عوّض بالقيم المعروفة في $p (λ) = محدِّد (A - λ I_{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $A$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ I_{2})$

خطوة 3.2

عوّض بقيمة $I_{2}$ التي تساوي $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

اضرب $- λ$ في كل عنصر من عناصر المصفوفة.

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2

بسّط كل عنصر في المصفوفة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3

اضرب $- λ \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.3.2

اضرب $0$ في $λ$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

خطوة 4.1.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$p (λ) = محدِّد ([\begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 2 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

خطوة 4.2

اجمع العناصر المتناظرة.

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 2 + 0 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3

Simplify each element.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 2 \\ - 2 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 4.3.2

أضف $- 2$ و $0$ .

$p (λ) = محدِّد [\begin{array}{c} 5 - λ & - 2 \\ - 2 & 2 - λ \end{array}]$

خطوة 5

Find the determinant.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

يمكن إيجاد محدد المصفوفة $2 \times 2$ باستخدام القاعدة $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (5 - λ) (2 - λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2

بسّط المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

وسّع $(5 - λ) (2 - λ)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 5 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 5 \cdot 2 + 5 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (λ) = 5 \cdot 2 + 5 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

اضرب $5$ في $2$ .

$p (λ) = 10 + 5 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$p (λ) = 10 - 5 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$p (λ) = 10 - 5 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$p (λ) = 10 - 5 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.1.5

اضرب $λ$ في $λ$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.5.1

انقُل $λ$ .

$p (λ) = 10 - 5 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.1.5.2

اضرب $λ$ في $λ$ .

$p (λ) = 10 - 5 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$p (λ) = 10 - 5 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.1.7

اضرب $λ^{2}$ في $1$ .

$p (λ) = 10 - 5 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.2.2

اطرح $2 λ$ من $- 5 λ$ .

$p (λ) = 10 - 7 λ + λ^{2} - (- 2 \cdot - 2)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- (- 2 \cdot - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$p (λ) = 10 - 7 λ + λ^{2} - 1 \cdot 4$

خطوة 5.2.1.3.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$p (λ) = 10 - 7 λ + λ^{2} - 4$

خطوة 5.2.2

اطرح $4$ من $10$ .

$p (λ) = - 7 λ + λ^{2} + 6$

خطوة 5.2.3

أعِد ترتيب $- 7 λ$ و $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 7 λ + 6$

خطوة 6

عيّن قيمة متعدد الحدود المميز بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد القيم الذاتية $λ$ .

$λ^{2} - 7 λ + 6 = 0$

خطوة 7

أوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل $λ^{2} - 7 λ + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $6$ ومجموعهما $- 7$ .

$- 6, - 1$

خطوة 7.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(λ - 6) (λ - 1) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$λ - 6 = 0$

$λ - 1 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $λ - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $λ - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 6 = 0$

خطوة 7.3.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 6$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $λ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $λ - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$λ - 1 = 0$

خطوة 7.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$λ = 1$

خطوة 7.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(λ - 6) (λ - 1) = 0$ صحيحة.

$λ = 6, 1$